ネイピア数を求めてみる【Python】

Python のプログラミングの一例として、ネイピア数を求めるスクリプトについてまとめておきます。
以下の環境で動作確認をしています。
環境： Windows パソコン、Python 3.x

背景

Python は数値計算に適しているといわれています。
そこで以前、Python プログラミングの一例として、円周率を自力で求めています。
円周率についてまとめたら、ネイピア数についても求めておきたくなります。
そこでネイピア数を求めるスクリプトと関連する式について、まとめておくことにします。

計算式

ネイピア数を求めるにあたり、オーソドックスに以下の式を使うことにします。

（式１）
$$ e = \lim_{n \to +\infty} \biggl( 1+\frac{1}{n} \biggl)^{n} $$

・　（式１）の証明やネイピア数の性質については、末尾に概要をまとめておくことにします。

サンプルコードと実行結果

上の（式１）をプログラムにします。

for n1 in range( 1, 1000000 ): 
    val1 = ( 1.0 + 1.0/n1 ) ** n1 
    print( val1 )

上記のプログラムを実行すると、2.71828… の数字がずらずらと表示され、真の値に収束していく動きとなります。
実質、最低１行程度のプログラムを書くだけで、ネイピア数を数値的に求められることがわかります。

サンプルコードの説明

・　（式１）に従って、ネイピア数となる val1 を求めています。
・　カッコ (…) 内は（式１）のとおりです。カッコ外の **n1 としているところで、累乗を求めています。
・　実際は、for ループを使わなくても、任意の大きな数を n1 に入れることで、ネイピア数を求めることが可能です。しかし、ここでは、数値が収束していく様子を表示させるため、（式１）を for ループに入れて、繰り返し、表示させています。
・　n1 の範囲を range() のところで設定しています。計算結果の精度を高くするためには、n1 をより大きな範囲で設定し、実行してみてください。
・　また、スクリプトでは n1 は整数としています。しかし、（式１）の導出（下記）から、n1 は整数に限定する必要はありません。

ネイピア数の性質と証明

ネイピア数の性質について主なものをまとめておきます。
まず、以下の関数を定義しておきます。
（式２）
$$ f(x) = e^{x} $$

性質１：式２を微分すると元の関数に戻る

よく知られているように、以下の性質があります。
（式３）
$$ \frac{df(x)}{dx} = \frac{d}{dx} e^{x} = e^{x} = f(x) $$

性質２：切片での傾き（微分係数）が１になっている

（式３）で、x=0 とすることで、以下の式が得られます。
（式４）
$$ \frac{df(0)}{dx} = e^{0} = 1 $$

その他の性質

（式４）について微分の定義を書き出すと、つぎの式が得られます。
$$ \frac{d f(0)}{dx} ＝ \lim_{Δx \to +0} \frac{f(0+Δx)-f(0)}{Δx} = 1 $$
この式に（式２）を用いることで、つぎのよく知られた式が得られます。
（式５）
$$ \lim_{Δx \to +0} \frac{e^{Δx}-1}{Δx} = 1 $$

同様に、（式２）について微分の定義を書き出すと、つぎのようになります。
$$ \frac{df(x)}{dx} ＝ \lim_{Δx \to +0} \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx} = 1$$

$$ \frac{df(x)}{dx} ＝ \lim_{Δx \to +0} \frac{e^{x+Δx}-e^{x}}{Δx} $$
右辺で lim の外に exp(x) をくくりだし、（式５）を再度使うと、つぎのようになります。
（式６）
$$ \frac{df(x)}{dx} ＝ e^{x} \lim_{Δx \to +0} \frac{e^{Δx}-1}{Δx}＝ e^{x} $$
（式６）は、f(x) を x で微分すると、exp(x) が得られるという式になっています。
（式５）を使ってしまっているため、（式３）を直接的に求めていることにはなりませんが、（式５）の左辺は x の関数にはなっていないため係数とみなすと、いずれにせよ（式６）の右辺は exp(x) に比例することになります。微分の定義を考慮しても、（式３）には矛盾が生じないことがわかります。

（式１）の導出

つぎに、上記の性質を使って（式１）を導出してみます。
式の形が似ている（式５）を使います。
（式５）
$$ \lim_{Δx \to +0} \frac{e^{Δx}-1}{Δx} = 1 $$

分子分母はともに +0 に漸近しており（ロピタルの定理を使って分子分母をΔxで微分すると）、右辺の１となることがわかります。また、全体の逆数を取っても、同様の計算が成り立つため、１となることがわかります。
そこで、全体の逆数を取るとつぎのようになります。
（式７）
$$ \lim_{Δx \to +0} {\frac{1}{e^{Δx}-1}Δx} = 1 $$

分数の部分を変数 n と書くことにします。
（式８）
$$ \frac{1}{e^{Δx}-1} = n $$
すると、以下の式が得られます。
$$ e^{Δx}=1+\frac{1}{n} $$
両辺について e を底とする log を取ると、Δx は、つぎのようになります。
（式９）
$$ Δx= \log_{e}{ \biggl(1+\frac{1}{n} \biggl)} $$
（式８）と（式９）を（式７）に代入すると、つぎの式が得られます。
$$ \lim_{n \to +\infty } n \log_{e}{\biggl(1+\frac{1}{n} \biggl)} = 1 $$
$$ \lim_{n \to +\infty } \log_{e}{\biggl(1+\frac{1}{n} \biggl)}^{n} = 1 $$
lim を log の中に入れ、右辺を変形します。
$$ \log_{e}{\lim_{n \to +\infty } \biggl(1+\frac{1}{n} \biggl)^{n}} = 1 = \log_{e}{e} $$
右辺と左辺に log があるので外してしまうと、つぎの式、（式２）が得られます。
$$ e = \lim_{n \to +\infty } \biggl(1+\frac{1}{n} \biggl)^{n} $$

★　ポイント
微分の定義（式５）から得られる（式７）で、分数の部分を n とおくと、残りの部分が log で書けます。すると、n を log の肩に入れることで log 自体を外してしまえる、という点がポイントといえます。